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这为我们的 estimation error 提供了一个上界，如果我们能保证这个上界很小的话，自然就能保证 estimation error 小了。不直接去算 estimation error 而迂回一下搞一个上界的原因很明显：estimation error 太难算，而这个上界形式优良，容易估计：因为它和大数定理联系起来了！? 
如果你觉得看得不太清楚的话，我们不妨来整理一下记号。首先固定一个?
f∈F
?，记?
Z=?f(X,Y)
?，这是?
X×Y
?上的一个随机变量，根据 Risk 和 Empirical Risk 的定义：
R(f)Rn(f)=E[?f(X,Y)]=EZ=1n∑i=1n?f(Xi,Yi)=1n∑i=1nZi?Z?n
也就是说，
Z
?的期望就是?
f
?的 Risk ，而 sample?
Sn
?估计出来的均值?
Z?n
?对应?
f
?的 Empirical Risk 。根据大数定理，随着?
n→∞
?，
Z?n
?将会趋向于?
EZ
?，于是将刚才推出的 estimation error 的上界限制住的希望出现了。需要注意的是，传统的大数定理在这里还不能直接用，因为注意到我们得到的上界里有一个针对所有?
f∈F
?的上确界，因此需要对大数定理进行改造，使得收敛必须对于所有?
f∈F
?是一致的。不过在讨论这个问题之前，我们先来看一下大数定理的不等式形式，因为仅仅是极限情况下看起来太遥远了，在实际问题中，我们希望的是，对于某个（有限的）?
n
?，估计出误差的一个具体的界。下面不妨就挑Hoeffding 不等式来讨论好了。
定理 2（Hoeffding 不等式）：设随机变量?
Z
?满足?
Z∈[a,b]
?，则
P(∣∣∣1n∑i=1nZi–EZ∣>?)≤2exp(?2n?2(b?a)2)
（编辑：核心网）
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